Fermanın kiçik teoremi

Bu nəşrdə tam ədədlər nəzəriyyəsindəki əsas teoremlərdən birini nəzərdən keçirəcəyik -  Fermanın kiçik teoremifransız riyaziyyatçısı Pyer de Fermanın şərəfinə adlandırılıb. Təqdim olunan materialı birləşdirmək üçün problemin həlli nümunəsini də təhlil edəcəyik.

Teoremin ifadəsi

1. İlkin

If p sadə ədəddir a bölünməyən tam ədəddir psonra a^p-1 - 1 bölünür p.

Rəsmi olaraq belə yazılır: a^p-1 ≡ 1 (əleyhinə) p).

Qeyd: Sadə ədəd yalnız XNUMX-ə və özünə qalıqsız bölünən natural ədəddir.

Misal üçün:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• nömrə 15 bölünür 5 qalıq olmadan.

2. Alternativ

If p sadə ədəddir, a istənilən tam ədəd a^p ilə müqayisə edilə bilər a modul p.

a^p ≡ a (əleyhinə) p)

Sübutların tapılma tarixi

Pierre de Fermat teoremi 1640-cı ildə tərtib etdi, lakin özü bunu sübut etmədi. Daha sonra bunu alman filosofu, məntiqçisi, riyaziyyatçısı və s. Gottfried Wilhelm Leibniz etdi. Güman edilir ki, onun sübutu 1683-cü ilə qədər idi, baxmayaraq ki, heç vaxt dərc edilməmişdir. Maraqlıdır ki, Leybnits teoremi özü kəşf edib, onun artıq əvvəllər tərtib olunduğunu bilmədən.

Teoremin ilk sübutu 1736-cı ildə nəşr olundu və o, isveçrəli, alman və riyaziyyatçı və mexanik Leonhard Eulerə məxsusdur. Fermatın Kiçik Teoremi Eyler teoreminin xüsusi halıdır.

Problemin nümunəsi

Ədədin qalığını tapın 2¹² on 12.

Həll

Bir ədəd təsəvvür edək 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 sadə ədəddir, buna görə də Fermatın kiçik teoremindən alırıq:

2¹¹ ≡ 2 (əleyhinə) 11).

Beləliklə, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (əleyhinə) 11).

Beləliklə, nömrə 2¹² bölünür 12 qalığı ilə bərabərdir 4.