Kompleks ədədi təbii gücə yüksəltmək

Bu nəşrdə biz mürəkkəb ədədin bir gücə necə qaldırılacağını (o cümlədən De Moivre düsturundan istifadə etməklə) nəzərdən keçirəcəyik. Nəzəri material daha yaxşı başa düşülməsi üçün nümunələrlə müşayiət olunur.

Kompleks ədədi gücə yüksəltmək

Birincisi, kompleks nömrənin ümumi formaya malik olduğunu unutmayın: z = a + bi (cəbri forma).

İndi birbaşa problemin həllinə davam edə bilərik.

Kvadrat nömrə

Biz dərəcəsi eyni amillərin məhsulu kimi təqdim edə və sonra onların məhsulunu tapa bilərik (bunu xatırlayaraq i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Misal 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Siz həmçinin istifadə edə bilərsiniz, yəni cəminin kvadratından:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Qeyd: Eyni şəkildə, lazım gələrsə, fərqin kvadratı, cəmi/fərqin kubu və s. üçün düsturlar əldə edilə bilər.

N-ci dərəcə

Kompleks ədədi artırın z şəklində n triqonometrik formada təmsil olunarsa, daha asan olur.

Xatırladaq ki, ümumiyyətlə, nömrənin qeydi belə görünür: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Eksponentasiya üçün istifadə edə bilərsiniz De Moivre düsturu (İngilis riyaziyyatçısı Abraham de Moivre adı ilə adlandırılıb):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ günah(nφ))

Düstur triqonometrik formada yazmaqla əldə edilir (modullar vurulur, arqumentlər əlavə olunur).

Məsələn 2

Kompleks ədədi artırın z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) səkkizinci dərəcəyə qədər.

Həll

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).