SLAE həlli üçün Gauss üsulu

Bu nəşrdə biz Gauss metodunun nə olduğunu, nə üçün lazım olduğunu və prinsipinin nə olduğunu nəzərdən keçirəcəyik. Xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün metodun necə tətbiq oluna biləcəyini praktiki nümunə ilə də nümayiş etdirəcəyik.

Gauss metodunun təsviri

Gauss üsulu həll etmək üçün istifadə olunan dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılmasının klassik üsuludur. Alman riyaziyyatçısı Karl Fridrix Qaussun (1777-1885) şərəfinə adlandırılmışdır.

Ancaq əvvəlcə SLAU-nun edə biləcəyini xatırlayaq:

• tək bir həll var;
• sonsuz sayda həll yolu var;
• uyğunsuz olmalıdır, yəni heç bir həll yolu yoxdur.

Praktik faydalar

Gauss metodu üçdən çox xətti tənliyi, eləcə də kvadrat olmayan sistemləri ehtiva edən SLAE-ni həll etmək üçün əla bir yoldur.

Gauss metodunun prinsipi

Metod aşağıdakı addımları əhatə edir:

1. düz – tənliklər sisteminə uyğun gələn artırılmış matris, cərgələrin üstündən yuxarı üçbucaqlı (pilləli) formaya endirilir, yəni əsas diaqonalın altında yalnız sıfıra bərabər elementlər olmalıdır.
2. geri – alınan matrisdə əsas diaqonalın üstündəki elementlər də sıfıra təyin edilir (aşağı üçbucaq görünüş).

SLAE həlli nümunəsi

Aşağıdakı xətti tənliklər sistemini Qauss üsulu ilə həll edək.

Həll

1. Başlamaq üçün SLAE-ni genişləndirilmiş matris şəklində təqdim edirik.

2. İndi bizim vəzifəmiz əsas diaqonalın altındakı bütün elementləri yenidən qurmaqdır. Növbəti hərəkətlər xüsusi matrisdən asılıdır, aşağıda bizim işimizə aid olanları təsvir edəcəyik. Əvvəlcə sıraları dəyişdiririk, beləliklə onların ilk elementlərini artan qaydada yerləşdiririk.

3. İkinci cərgədən birincini iki dəfə, üçüncüdən isə birincini üç dəfə çıxarın.

4. Üçüncü sətirə ikinci sətri əlavə edin.

5. Birinci sətirdən ikinci sətri çıxarın və eyni zamanda üçüncü sətri -10-a bölün.

6. Birinci mərhələ tamamlandı. İndi əsas diaqonalın üstündəki null elementləri almalıyıq. Bunu etmək üçün birinci cərgədən 7-yə vurulan üçüncünü çıxarın və ikinciyə 5-ə vurulan üçüncünü əlavə edin.

7. Yekun genişlənmiş matris belə görünür:

8. Tənliklər sisteminə uyğundur:

Cavab: kök SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.