Funksiyanın həddi nədir

Bu nəşrdə biz riyazi analizin əsas anlayışlarından birini - funksiyanın limitini: onun tərifini, eləcə də praktiki nümunələrlə müxtəlif həlləri nəzərdən keçirəcəyik.

Funksiya limitinin müəyyən edilməsi

Funksiya həddi – arqumenti məhdudlaşdırıcı nöqtəyə meyl etdikdə bu funksiyanın dəyərinin meyl göstərdiyi dəyər.

Limit rekordu:

• limit işarəsi ilə göstərilir lim;
• aşağıda funksiyanın arqumentinin (dəyişəninin) hansı dəyərə meyl etdiyi əlavə olunur. Adətən bu x, lakin mütləq deyil, məsələn:x→1″;
• onda funksiyanın özü sağa əlavə olunur, məsələn:

  

Beləliklə, limitin son qeydi belə görünür (bizim vəziyyətimizdə):

kimi oxuyur “x birliyə meyl etdiyi üçün funksiyanın limiti”.

x→ 1 – bu o deməkdir ki, “x” ardıcıl olaraq birliyə sonsuz yaxınlaşan dəyərləri qəbul edir, lakin heç vaxt onunla üst-üstə düşməyəcək (ona çatmayacaq).

Qərar məhdudiyyətləri

Verilmiş nömrə ilə

Yuxarıdakı həddi həll edək. Bunu etmək üçün sadəcə funksiyada vahidi əvəz edin (çünki x→1):

Beləliklə, limiti həll etmək üçün əvvəlcə verilmiş ədədi onun altındakı funksiyaya əvəz etməyə çalışırıq (əgər x konkret ədədə meyl edirsə).

Sonsuzluqla

Bu halda funksiyanın arqumenti sonsuz artır, yəni, "X" sonsuzluğa (∞) meyl edir. Misal üçün:

If x→∞, onda verilmiş funksiya mənfi sonsuzluğa (-∞) meyl edir, çünki:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 və s.

Daha mürəkkəb bir nümunə

Bu həddi həll etmək üçün sadəcə dəyərləri artırın x və bu halda funksiyanın “davranışına” baxın.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Beləliklə, üçün "X"sonsuzluğa meyl, funksiya x² +3x –6 sonsuza qədər böyüyür.

Qeyri-müəyyənliklə (x sonsuzluğa meyllidir)

Bu halda, funksiya kəsr olduqda, payı və məxrəci çoxhədli olan hədlərdən danışırıq. Harada "X" sonsuzluğa meyl edir.

Misal: aşağıdakı limiti hesablayaq.

Həll

Həm pay, həm də məxrəcdəki ifadələr sonsuzluğa meyllidir. Güman etmək olar ki, bu vəziyyətdə həll aşağıdakı kimi olacaqdır:

Ancaq hər şey o qədər də sadə deyil. Limiti həll etmək üçün aşağıdakıları etməliyik:

1. Tapın x numerator üçün ən yüksək gücə (bizim vəziyyətimizdə ikidir).

2. Eynilə, biz də müəyyən edirik x məxrəc üçün ən yüksək gücə (həmçinin ikiyə bərabərdir).

3. İndi həm payı, həm də məxrəci bölürük x ali pillədə. Bizim vəziyyətimizdə, hər iki halda - ikincidə, lakin fərqli olsaydı, ən yüksək dərəcəni götürməliyik.

4. Nəticədə bütün kəsrlər sıfıra meyllidir, buna görə də cavab 1/2-dir.

Qeyri-müəyyənliklə (x müəyyən bir rəqəmə meyllidir)

Həm say, həm də məxrəc çoxhədlidir, lakin "X" sonsuzluğa yox, konkret ədədə meyl edir.

Bu zaman məxrəcin sıfır olmasına şərti olaraq gözümüzü yumuruq.

Misal: Aşağıdakı funksiyanın limitini tapaq.

Həll

1. Əvvəlcə 1 rəqəmini hansı funksiyaya əvəz edək "X". Biz nəzərdən keçirdiyimiz formanın qeyri-müəyyənliyini əldə edirik.

2. Sonra, pay və məxrəci amillərə ayırırıq. Bunu etmək üçün qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edə bilərsiniz, əgər uyğundursa və ya.

Bizim vəziyyətimizdə ifadənin paylayıcıdakı kökləri (2x² – 5x + 3 = 0) 1 və 1,5 rəqəmləridir. Beləliklə, o, aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər: 2(x-1)(x-1,5).

Məxrəc (x–1) əvvəlcə sadədir.

3. Biz belə dəyişdirilmiş limit alırıq:

4. Kəsr ( ilə azaldıla bilər)x–1):

5. Limit altında alınan ifadədə yalnız 1 rəqəmini əvəz etmək qalır: